平行線と線分の比（中点連結定理）

三角形と平行線でできる線分の比、平行線にはさまれた比、中点連結定理を図でわかりやすく解説。相似を使って辺の長さを求める代表問題が解けるようになります。

三角形に平行線を引くと、辺が同じ比に分かれます。これは相似の代表的な使いどころ。入試の長さ問題でよく出ます。中点連結定理までまとめて攻略しましょう。

三角形と平行線の比

△ABC で、辺BCに平行な直線が AB、AC を D、E で切るとき、

$AD:DB=AE:EC,\qquad AD:AB=AE:AC=DE:BC$

なぜ比が等しい？（相似だから）

DE∥BC だと、△ADE と △ABC は相似になります（∠A が共通、DE∥BC より同位角が等しい＝2組の角）。相似な図形では対応する辺の比が等しいので、$AD:AB=AE:AC=DE:BC$ が成り立つのです。

セナ

平行線を引くと相似な三角形が現れるんだね！

ホクト先生

そう。「平行 → 同位角・錯角が等しい → 2組の角 → 相似」。平行線を見たら相似を疑う、が合言葉だよ。

辺の長さを求める

例：$AD=4,\ DB=2,\ AE=6$ のとき $EC$ は？ $AD:DB=AE:EC$ より、

$4:2=6:EC \;\Rightarrow\; 4\times EC=12 \;\Rightarrow\; EC=3$

中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶと、その線分は

例：$BC=10$ なら、中点を結んだ $MN=5$。

やってみよう（練習問題）

これで中3「相似」は完全攻略です！ 相似は図形問題・三平方の定理・円の問題と組み合わさって、入試で何度も登場します。