算数・数学ラボつまずいても、何度でも。

二次方程式を平方根で解く

x²＝k や (x+m)²＝k の二次方程式を、平方根を使って解く方法を数直線の図でわかりやすく。±を忘れない理由と、(x+m)²の形の解き方が身につきます。

◎このページのゴール

x²＝k・(x+m)²＝k の形の二次方程式を、平方根を使って解けるようになる。

x2=9x^2=9 の答えは？ 33 だけ……ではありません。(−3)2=9(-3)^2=9 なので、x=±3x=\pm3。「2乗＝数」の形は、平方根を使って一発で解けます。±を忘れないのがコツです。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

x²＝k の解き方

→やり方

x2=k (k≥0)⇒x=±kx^2=k\ (k\ge0)\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{k}

両辺の平方根をとる。正と負の2つが解。

例：x2=9⇒x=±3x^2=9 \Rightarrow x=\pm3、x2=5⇒x=±5x^2=5 \Rightarrow x=\pm\sqrt5

なぜ ± がつくの？（数直線）

2乗して 99 になる数は、+3+3 と −3-3 の2つ。数直線で見ると、0から同じ距離に2つあります。だから解は ±3\pm3。

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 −3 +3

✕よくある間違い

x2=9x^2=9 の答えを x=3x=3 だけにするのはまちがい。負のほう x=−3x=-3 も解です。「2乗＝数」を平方根で解くときは、必ず ±。

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セナ

x2=5x^2=5 みたいにきれいにならないときは？

ホクト先生のアイコン
ホクト先生

そのまま x=±5x=\pm\sqrt5 でOK。むしろ因数分解では解けないこういう形こそ、平方根の出番だよ。

✓理解チェック①

(x+m)²＝k の解き方

かっこの2乗＝数 の形も同じ。かっこ全体の平方根をとります。

(x+1)2=4  ⇒  x+1=±2  ⇒  x=−1±2  ⇒  x=1, −3(x+1)^2=4 \;\Rightarrow\; x+1=\pm2 \;\Rightarrow\; x=-1\pm2 \;\Rightarrow\; x=1,\ -3

x+1=+2x+1=+2 から x=1x=1、x+1=−2x+1=-2 から x=−3x=-3。±から2つの解が出ます。

✓理解チェック②

√の中は簡単にする

解に√が出たら、できるだけ簡単な形にします。

x2=12  ⇒  x=±12=±23x^2=12 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3

✓コツ

「2乗＝数」「（かっこ）2乗＝数」の形を見たら平方根で一発。因数分解しにくい問題でも、この形に変形できれば解けます（くわしい平方完成は高校でさらに学びます）。

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう（練習問題）

二次方程式を解きましょう。

  1. x2=25x^2=25
  2. x2=7x^2=7
  3. (x+3)2=16(x+3)^2=16
  4. x2=18x^2=18
答えと解説を見る
  1. x=±5x=\pm5
  2. x=±7x=\pm\sqrt7
  3. x+3=±4x+3=\pm4 → x=1, −7x=1,\ -7
  4. x=±18=±32x=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt2

家おうちの方へ

ここでの最重要ポイントは「±を忘れない」こと。数直線で「0から同じ距離に2つ」を見せると、なぜ解が2つかが直感的にわかります。(x+m)2=k(x+m)^2=k は「かっこを1つのかたまり」と見て平方根をとる、と教えると混乱しません。

因数分解でも平方根でも解きにくい問題は、最後の切り札解の公式で必ず解けます。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

  • $x^2=k$（$k\ge0$）→ $x=\pm\sqrt{k}$（±を忘れない）。
  • $(x+m)^2=k$ → $x+m=\pm\sqrt{k}$ → $x=-m\pm\sqrt{k}$。
  • √の中はできるだけ簡単に（$\sqrt{12}=2\sqrt3$）。
  • 因数分解しにくい「2乗＝数」の形に強い。
#二次方程式#平方根#中3数学