算数・数学ラボつまずいても、何度でも。

二次方程式の解の公式

二次方程式の解の公式を、a・b・cの読み取り方とセットでわかりやすく。符号のミスを防ぐ図、因数分解と公式の使い分けまで、入試で使える形で解説します。

◎このページのゴール

解の公式を使って、どんな二次方程式でも解けるようになる。

因数分解できない二次方程式も、解の公式を使えば必ず解けます。最強の切り札。ただし a,b,ca,b,c の読み取りと符号でミスが出やすいので、図で正確に押さえましょう。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

解の公式

→やり方

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 のとき、

x=−b±b2−4ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

まず a・b・c を読み取る

公式に入れる前に、x2x^2 の係数 aa、xx の係数 bb、定数 cc を符号ごと正確に読み取ります。

x²＋3x＋1＝0a＝1b＝3c＝1x²の係数=a、xの係数=b、定数=c（符号ごと）

x2+3x+1=0x^2+3x+1=0 なら a=1, b=3, c=1a=1,\ b=3,\ c=1。公式に入れて、

x=−3±32−4×1×12×1=−3±52x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times1\times1}}{2\times1}=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}

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セナ

√の中（b2−4acb^2-4ac）の計算がこわい…

ホクト先生のアイコン
ホクト先生

そこは1つずつ。b2b^2 を出して、4ac4ac を引く。符号を間違えないよう、a,b,ca,b,c を先に書き出してから代入するのがコツだよ。

✓理解チェック①

よくあるミス

✕よくある間違い

  • 分母を 2a2a ではなく aa にしてしまう → 分母は 2a2a 全体。
  • −b-b の符号ミス（b=−3b=-3 なら −b=+3-b=+3）。
  • b2−4acb^2-4ac の −4ac-4ac の符号ミス（cc が負なら −4ac-4ac は＋になる）。

a,b,ca,b,c を符号つきで書き出してから代入すると、これらのミスが激減します。

✓理解チェック②

因数分解と公式の使い分け

✓コツ

  1. まず因数分解を試す（速い）。x2+5x+6x^2+5x+6 のように2数が見つかればこちら。
  2. 見つからない・複雑なら解の公式（必ず解ける）。
  3. 「2乗＝数」「（かっこ）2乗＝数」の形なら平方根が速い。

迷ったら解の公式でOK。どんな二次方程式でも解けます。

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう（練習問題）

解の公式で解きましょう。

  1. x2+5x+2=0x^2+5x+2=0
  2. x2−3x−1=0x^2-3x-1=0
  3. 2x2+3x−1=02x^2+3x-1=0
  4. x2−2x−2=0x^2-2x-2=0
答えと解説を見る
  1. x=−5±172x=\dfrac{-5\pm\sqrt{17}}{2}（b2−4ac=25−8=17b^2-4ac=25-8=17）
  2. x=3±132x=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}（−b=3, b2−4ac=9+4=13-b=3,\ b^2-4ac=9+4=13）
  3. x=−3±174x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}（a=2a=2 なので分母4、9+8=179+8=17）
  4. x=2±122=1±3x=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt3（12=23\sqrt{12}=2\sqrt3、約分）

家おうちの方へ

解の公式は「a,b,ca,b,c を符号つきで書き出してから代入」を徹底すると、符号ミスが大きく減ります。分母が 2a2a 全体であること、√の中の −4ac-4ac の符号（cc が負なら＋）が要注意ポイント。最後に√を簡単にし、約分できるか確認する習慣もつけましょう。

これで中3「二次方程式」は完全攻略です！ 因数分解・平方根・解の公式の3つを、問題に応じて使い分けられれば、入試の計算は怖くありません。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

  • $ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
  • まず $a,\ b,\ c$ を符号ごと正しく読み取る。
  • 分母は $2a$ 全体。±と√の中（$b^2-4ac$）に注意。
  • まず因数分解→ダメなら解の公式の順で。
#二次方程式#解の公式#中3数学