y=ax² の変化の割合

関数y=ax²の変化の割合を、放物線と割線（2点を結ぶ直線）の図でわかりやすく。一次関数と違い一定でないこと、公式a(p+q)の使い方が身につきます。

一次関数では「変化の割合＝傾き」で一定でした。でも y=ax² では、場所によって変化の割合が変わります。グラフの「2点を結ぶ直線の傾き」として見ると、その意味がよくわかります。

変化の割合とは

$\text{変化の割合}=\dfrac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}$

定義は一次関数と同じ。例えば $y=x^2$ で $x=1\to3$ のとき、$y$ は $1\to9$ なので、

$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$

グラフで見る：割線の傾き

変化の割合は、放物線上の2点を結ぶ直線（割線）の傾きです。下の図の点線の傾きが「4」にあたります。

公式：a(p+q)

$y=ax^2$ で $x=p$ から $x=q$ まで変化するときの変化の割合は、

$a(p+q)$

で求められます。さきほどの例（$a=1,\ p=1,\ q=3$）なら $1\times(1+3)=4$。定義どおり計算しても、公式を使っても同じです。

セナ

公式があると速いね！ でもなんで a(p+q) になるの？

ホクト先生

$\dfrac{aq^2-ap^2}{q-p}$ を計算すると、$aq^2-ap^2=a(q+p)(q-p)$ だから $q-p$ が約分されて $a(p+q)$ が残るんだ。因数分解（平方の差）が効いてるね。

一次関数との違い

やってみよう（練習問題）

最後は、$x$ の範囲（変域）から $y$ の範囲を求める問題です。放物線ならではの“落とし穴”に注意します。