円周角の定理（中心角と円周角）
円周角の定理を円の図でわかりやすく解説。円周角は中心角の半分・同じ弧の円周角は等しい、という2つのルールで角度を求められるようになります。
◎このページのゴール
円周角の定理（中心角の半分・同じ弧は等しい）を理解し、角度を求められるようになる。
円の中の角度問題は、ルールを知らないと手が出ません。でも本質は2つだけ。「円周角は中心角の半分」「同じ弧の円周角は等しい」。図で見ればすぐ使えるようになります。
どこでつまずいた？
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用語：中心角と円周角
弧ABに対して、
- 中心角：中心 O を頂点とする角 ∠AOB
- 円周角：円周上の点 P を頂点とする角 ∠APB
円周角の定理
→やり方
- 1つの弧に対する円周角は、中心角の半分
（中心角 ＝ 円周角 × 2） - 同じ弧に対する円周角は、すべて等しい
例：弧ABの中心角が なら、円周角は 。
円周角って、Pの位置を動かしても同じ大きさなの？
そう！ 同じ弧ABを見ている円周角なら、Pが円周上のどこにあっても全部同じ大きさ。これが定理②。問題を解くときの強力な武器だよ。
✓理解チェック①
同じ弧の円周角は等しい
同じ弧ABを見ている円周角は、頂点 P がどこにあっても等しくなります。だから、片方の角がわかれば、もう片方もすぐわかります。
✓コツ
問題では「同じ弧を見ている角」を探すのがコツ。等しい角がいくつも見つかり、芋づる式に角度が求まります。
逆向きにも使える
「円周角 → 中心角」は2倍。円周角が なら中心角は 。行き来できるようにしておきましょう。
✓理解チェック②
やってみよう（練習問題）
✏️ やってみよう（練習問題）
- 中心角が のときの円周角は？
- 円周角が のときの中心角は？
- 同じ弧に対する2つの円周角がある。一方が のとき、もう一方は？
- 中心角が のときの円周角は？
答えと解説を見る
- 同じ弧の円周角は等しいので
家おうちの方へ
円周角は「中心角の半分」「同じ弧なら等しい」の2つを図で押さえれば、ほとんどの角度問題が解けます。とくに「同じ弧を見ている角は等しい」は、図の中で等しい角を見つける宝探しのように使います。中心角と円周角を取り違えないよう、頂点が中心Oか円周上Pかを毎回確認させてください。
次は、この定理を使った代表問題。とくに「直径に対する円周角は90°」は超頻出です。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 1つの弧に対する円周角は、中心角の半分（中心角＝円周角の2倍）。
- 同じ弧に対する円周角は、すべて等しい。
- 中心角は中心O、円周角は円周上の点が頂点。
- この2つで円の中の角度の大半が解ける。